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|000039a0| 20 20 20 26 20 26 20 26 | 20 4d 65 61 6e 69 6e 67 | & & &| Meaning|
|000039b0| 20 61 6e 64 20 5c 54 65 | 58 20 66 6f 72 6d 20 5c | and \Te|X form \|
|000039c0| 5c 0a 25 25 25 20 5c 68 | 6c 69 6e 65 0a 25 25 25 |\.%%% \h|line.%%%|
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|000039e0| 20 26 20 26 20 60 60 61 | 6c 6c 2d 7a 65 72 6f 27 | & & ``a|ll-zero'|
|000039f0| 27 20 61 6e 61 6c 6f 67 | 20 66 69 6c 74 65 72 20 |' analog| filter |
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|00003a10| 25 20 7b 5c 74 74 20 43 | 49 49 52 7d 20 20 20 20 |% {\tt C|IIR} |
|00003a20| 26 20 26 20 26 20 61 6c | 6c 2d 70 6f 6c 65 20 61 |& & & al|l-pole a|
|00003a30| 6e 61 6c 6f 67 20 66 69 | 6c 74 65 72 20 28 73 65 |nalog fi|lter (se|
|00003a40| 65 20 74 65 78 74 29 20 | 5c 5c 0a 25 25 25 20 7b |e text) |\\.%%% {|
|00003a50| 5c 74 74 20 43 50 75 6c | 73 65 7d 20 20 20 20 20 |\tt CPul|se} |
|00003a60| 20 26 20 26 20 26 20 63 | 6f 6e 74 69 6e 75 6f 75 | & & & c|ontinuou|
|00003a70| 73 20 70 75 6c 73 65 3a | 0a 25 25 25 20 20 20 20 |s pulse:|.%%% |
|00003a80| 20 20 20 24 5c 73 71 63 | 61 70 5f 4c 28 74 29 20 | $\sqc|ap_L(t) |
|00003a90| 3d 20 20 5c 6c 65 66 74 | 5c 7b 20 5c 62 65 67 69 |= \left|\{ \begi|
|00003aa0| 6e 7b 61 72 72 61 79 7d | 7b 6c 6c 7d 0a 25 25 25 |n{array}|{ll}.%%%|
|00003ab0| 20 20 20 20 20 20 20 20 | 20 30 20 20 26 20 5c 68 | | 0 & \h|
|00003ac0| 62 6f 78 7b 66 6f 72 20 | 24 74 3c 30 24 20 6f 72 |box{for |$t<0$ or|
|00003ad0| 20 24 74 3e 4c 24 7d 20 | 5c 5c 0a 25 25 25 20 31 | $t>L$} |\\.%%% 1|
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|00003af0| 78 7b 66 6f 72 20 24 74 | 3d 30 24 20 6f 72 20 24 |x{for $t|=0$ or $|
|00003b00| 74 3d 4c 24 7d 20 5c 5c | 0a 25 25 25 20 20 20 20 |t=L$} \\|.%%% |
|00003b10| 20 20 20 20 20 31 20 20 | 26 20 5c 68 62 6f 78 7b | 1 |& \hbox{|
|00003b20| 66 6f 72 20 24 30 3c 74 | 3c 4c 24 7d 0a 25 25 25 |for $0<t|<L$}.%%%|
|00003b30| 20 20 20 20 20 20 20 20 | 20 20 20 20 20 5c 65 6e | | \en|
|00003b40| 64 7b 61 72 72 61 79 7d | 20 5c 72 69 67 68 74 2e |d{array}| \right.|
|00003b50| 24 20 5c 5c 0a 25 25 25 | 20 7b 5c 74 74 20 43 53 |$ \\.%%%| {\tt CS|
|00003b60| 74 65 70 7d 20 20 20 20 | 26 20 26 20 26 20 63 6f |tep} |& & & co|
|00003b70| 6e 74 69 6e 75 6f 75 73 | 20 73 74 65 70 3a 20 24 |ntinuous| step: $|
|00003b80| 75 5f 7b 2d 31 7d 20 28 | 74 29 20 3d 0a 25 25 25 |u_{-1} (|t) =.%%%|
|00003b90| 09 09 09 09 5c 6c 65 66 | 74 5c 7b 20 5c 62 65 67 |....\lef|t\{ \beg|
|00003ba0| 69 6e 7b 61 72 72 61 79 | 7d 7b 6c 6c 7d 0a 25 25 |in{array|}{ll}.%%|
|00003bb0| 25 20 20 20 20 20 20 20 | 20 20 20 20 20 20 30 20 |% | 0 |
|00003bc0| 20 26 5c 68 62 6f 78 7b | 66 6f 72 20 7d 74 20 3c | &\hbox{|for }t <|
|00003bd0| 20 30 5c 5c 0a 25 25 25 | 20 20 20 20 20 31 20 5c | 0\\.%%%| 1 \|
|00003be0| 6f 76 65 72 20 32 20 20 | 26 5c 68 62 6f 78 7b 66 |over 2 |&\hbox{f|
|00003bf0| 6f 72 20 7d 74 20 3d 20 | 30 5c 5c 0a 25 25 25 20 |or }t = |0\\.%%% |
|00003c00| 20 20 20 20 20 20 20 20 | 20 20 20 20 31 20 20 26 | | 1 &|
|00003c10| 5c 68 62 6f 78 7b 66 6f | 72 20 7d 74 20 3e 20 30 |\hbox{fo|r }t > 0|
|00003c20| 0a 25 25 25 20 20 20 20 | 20 20 20 20 20 20 20 20 |.%%% | |
|00003c30| 20 5c 65 6e 64 7b 61 72 | 72 61 79 7d 20 5c 72 69 | \end{ar|ray} \ri|
|00003c40| 67 68 74 2e 24 20 5c 5c | 0a 25 25 25 20 7b 5c 74 |ght.$ \\|.%%% {\t|
|00003c50| 74 20 44 65 6c 74 61 7d | 20 20 20 20 26 20 26 20 |t Delta}| & & |
|00003c60| 26 20 44 69 72 61 63 20 | 64 65 6c 74 61 20 24 5c |& Dirac |delta $\|
|00003c70| 64 65 6c 74 61 28 74 29 | 24 20 28 73 65 65 20 74 |delta(t)|$ (see t|
|00003c80| 65 78 74 29 20 5c 5c 0a | 25 25 25 20 7b 5c 74 74 |ext) \\.|%%% {\tt|
|00003c90| 20 44 69 72 69 63 68 6c | 65 74 7d 20 20 20 20 26 | Dirichl|et} &|
|00003ca0| 20 26 20 26 20 44 69 72 | 69 63 68 6c 65 74 20 64 | & & Dir|ichlet d|
|00003cb0| 69 73 63 72 65 74 65 20 | 6b 65 72 6e 65 6c 3a 0a |iscrete |kernel:.|
|00003cc0| 25 25 25 20 20 20 20 24 | 64 5b 4e 2c 20 74 5d 20 |%%% $|d[N, t] |
|00003cd0| 3d 20 5c 64 69 73 70 6c | 61 79 73 74 79 6c 65 7b |= \displ|aystyle{|
|00003ce0| 20 5c 73 69 6e 20 4e 20 | 74 2f 32 20 5c 6f 76 65 | \sin N |t/2 \ove|
|00003cf0| 72 20 4e 20 5c 73 69 6e | 20 74 2f 32 20 20 7d 24 |r N \sin| t/2 }$|
|00003d00| 20 5c 5c 0a 25 25 25 20 | 7b 5c 74 74 20 46 49 52 | \\.%%% |{\tt FIR|
|00003d10| 7d 20 20 20 20 26 20 26 | 20 26 20 61 6c 6c 2d 7a |} & &| & all-z|
|00003d20| 65 72 6f 20 64 69 67 69 | 74 61 6c 20 66 69 6c 74 |ero digi|tal filt|
|00003d30| 65 72 20 28 73 65 65 20 | 74 65 78 74 29 20 5c 5c |er (see |text) \\|
|00003d40| 0a 25 25 25 20 7b 5c 74 | 74 20 49 49 52 7d 20 20 |.%%% {\t|t IIR} |
|00003d50| 20 20 26 20 26 20 26 20 | 61 6c 6c 2d 70 6f 6c 65 | & & & |all-pole|
|00003d60| 20 64 69 67 69 74 61 6c | 20 66 69 6c 74 65 72 20 | digital| filter |
|00003d70| 28 73 65 65 20 74 65 78 | 74 29 20 5c 5c 0a 25 25 |(see tex|t) \\.%%|
|00003d80| 25 20 7b 5c 74 74 20 49 | 6d 70 75 6c 73 65 7d 20 |% {\tt I|mpulse} |
|00003d90| 20 20 20 26 20 26 20 26 | 20 4b 72 6f 6e 65 63 6b | & & &| Kroneck|
|00003da0| 65 72 20 64 65 6c 74 61 | 3a 20 24 5c 64 65 6c 74 |er delta|: $\delt|
|00003db0| 61 5b 6e 5d 20 3d 0a 25 | 25 25 09 09 09 09 5c 6c |a[n] =.%|%%....\l|
|00003dc0| 65 66 74 5c 7b 20 5c 62 | 65 67 69 6e 7b 61 72 72 |eft\{ \b|egin{arr|
|00003dd0| 61 79 7d 7b 6c 6c 7d 0a | 25 25 25 20 20 20 20 20 |ay}{ll}.|%%% |
|00003de0| 30 20 20 26 5c 68 62 6f | 78 7b 66 6f 72 20 24 6e |0 &\hbo|x{for $n|
|00003df0| 20 5c 6e 65 20 30 24 7d | 5c 5c 0a 25 25 25 20 20 | \ne 0$}|\\.%%% |
|00003e00| 20 20 20 31 20 26 5c 68 | 62 6f 78 7b 66 6f 72 20 | 1 &\h|box{for |
|00003e10| 24 6e 20 3d 20 30 24 7d | 0a 25 25 25 20 20 20 20 |$n = 0$}|.%%% |
|00003e20| 20 20 20 20 20 20 20 20 | 20 5c 65 6e 64 7b 61 72 | | \end{ar|
|00003e30| 72 61 79 7d 20 5c 72 69 | 67 68 74 2e 24 20 5c 5c |ray} \ri|ght.$ \\|
|00003e40| 0a 25 25 25 20 7b 5c 74 | 74 20 4c 69 6e 65 49 6d |.%%% {\t|t LineIm|
|00003e50| 70 75 6c 73 65 7d 20 26 | 20 26 20 26 20 6d 75 6c |pulse} &| & & mul|
|00003e60| 74 69 64 69 6d 65 6e 73 | 69 6f 6e 61 6c 20 64 65 |tidimens|ional de|
|00003e70| 6c 74 61 2c 20 65 2e 67 | 2e 2c 20 24 5c 64 65 6c |lta, e.g|., $\del|
|00003e80| 74 61 28 74 5f 31 20 2d | 20 74 5f 32 29 24 20 5c |ta(t_1 -| t_2)$ \|
|00003e90| 5c 0a 25 25 25 20 7b 5c | 74 74 20 50 75 6c 73 65 |\.%%% {\|tt Pulse|
|00003ea0| 7d 0a 25 25 25 20 20 20 | 20 20 26 20 26 20 26 20 |}.%%% | & & & |
|00003eb0| 64 69 73 63 72 65 74 65 | 20 70 75 6c 73 65 3a 20 |discrete| pulse: |
|00003ec0| 24 20 5c 73 71 63 61 70 | 5f 4c 5b 6e 5d 20 3d 20 |$ \sqcap|_L[n] = |
|00003ed0| 20 5c 6c 65 66 74 5c 7b | 20 5c 62 65 67 69 6e 7b | \left\{| \begin{|
|00003ee0| 61 72 72 61 79 7d 7b 6c | 6c 7d 0a 25 25 25 20 20 |array}{l|l}.%%% |
|00003ef0| 20 20 20 20 20 20 20 30 | 20 20 26 20 5c 68 62 6f | 0| & \hbo|
|00003f00| 78 7b 66 6f 72 20 24 6e | 3c 30 24 20 6f 72 20 24 |x{for $n|<0$ or $|
|00003f10| 6e 5c 67 65 20 4c 24 7d | 20 5c 5c 0a 25 25 25 20 |n\ge L$}| \\.%%% |
|00003f20| 20 20 20 20 20 20 20 20 | 31 20 20 26 20 5c 68 62 | |1 & \hb|
|00003f30| 6f 78 7b 66 6f 72 20 24 | 30 5c 6c 65 20 6e 3c 4c |ox{for $|0\le n<L|
|00003f40| 24 7d 0a 25 25 25 20 20 | 20 20 20 20 20 20 20 20 |$}.%%% | |
|00003f50| 20 20 20 5c 65 6e 64 7b | 61 72 72 61 79 7d 0a 25 | \end{|array}.%|
|00003f60| 25 25 20 20 20 20 20 20 | 20 20 20 20 20 20 5c 72 |%% | \r|
|00003f70| 69 67 68 74 2e 24 20 5c | 5c 0a 25 25 25 20 7b 5c |ight.$ \|\.%%% {\|
|00003f80| 74 74 20 53 69 6e 63 7d | 20 20 20 20 26 20 26 20 |tt Sinc}| & & |
|00003f90| 26 20 24 5c 73 69 6e 63 | 20 74 3d 20 5c 6c 65 66 |& $\sinc| t= \lef|
|00003fa0| 74 5c 7b 20 5c 62 65 67 | 69 6e 7b 61 72 72 61 79 |t\{ \beg|in{array|
|00003fb0| 7d 7b 6c 6c 7d 0a 25 25 | 25 20 20 20 20 20 20 20 |}{ll}.%%|% |
|00003fc0| 20 20 20 20 5c 73 69 6e | 20 74 2f 74 20 20 26 20 | \sin| t/t & |
|00003fd0| 20 5c 68 62 6f 78 7b 66 | 6f 72 20 24 74 5c 6e 65 | \hbox{f|or $t\ne|
|00003fe0| 30 24 7d 20 5c 5c 0a 25 | 25 25 20 20 20 20 20 20 |0$} \\.%|%% |
|00003ff0| 20 20 20 20 20 31 20 20 | 26 20 20 5c 68 62 6f 78 | 1 |& \hbox|
|00004000| 7b 66 6f 72 20 24 74 3d | 30 24 7d 0a 25 25 25 20 |{for $t=|0$}.%%% |
|00004010| 20 20 20 20 20 20 20 20 | 20 5c 65 6e 64 7b 61 72 | | \end{ar|
|00004020| 72 61 79 7d 0a 25 25 25 | 20 20 20 20 20 20 20 20 |ray}.%%%| |
|00004030| 20 20 20 5c 72 69 67 68 | 74 2e 24 20 5c 5c 0a 25 | \righ|t.$ \\.%|
|00004040| 25 25 7b 5c 74 74 20 53 | 74 65 70 7d 20 20 20 20 |%%{\tt S|tep} |
|00004050| 26 20 26 20 26 20 64 69 | 73 63 72 65 74 65 20 73 |& & & di|screte s|
|00004060| 74 65 70 3a 20 24 75 5b | 6e 5d 20 3d 20 5c 6c 65 |tep: $u[|n] = \le|
|00004070| 66 74 5c 7b 20 5c 62 65 | 67 69 6e 7b 61 72 72 61 |ft\{ \be|gin{arra|
|00004080| 79 7d 7b 6c 6c 7d 0a 25 | 25 25 20 20 20 20 20 20 |y}{ll}.%|%% |
|00004090| 20 20 20 20 31 20 20 26 | 20 20 5c 68 62 6f 78 7b | 1 &| \hbox{|
|000040a0| 66 6f 72 20 7d 20 6e 20 | 5c 67 65 71 20 30 20 20 |for } n |\geq 0 |
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|000040c0| 30 20 20 26 20 20 5c 68 | 62 6f 78 7b 66 6f 72 20 |0 & \h|box{for |
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|00005320| 69 6e 7b 74 61 62 6c 65 | 7d 5b 68 74 62 70 5d 0a |in{table|}[htbp].|
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|000053c0| 20 5c 5c 0a 25 25 25 09 | 09 09 20 20 26 20 61 6e | \\.%%%.|.. & an|
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|00005410| 61 6c 6c 2d 7a 65 72 6f | 27 27 20 61 6e 61 6c 6f |all-zero|'' analo|
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|00005450| 20 61 6c 6c 2d 70 6f 6c | 65 20 61 6e 61 6c 6f 67 | all-pol|e analog|
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|00005490| 73 20 61 20 73 65 71 75 | 65 6e 63 65 20 62 79 20 |s a sequ|ence by |
|000054a0| 7b 5c 74 74 20 28 6e 30 | 20 2b 20 6e 29 20 6d 6f |{\tt (n0| + n) mo|
|000054b0| 64 20 4e 7d 0a 09 09 09 | 09 69 6e 20 7b 5c 74 74 |d N}....|.in {\tt|
|000054c0| 20 6e 7d 20 5c 5c 0a 7b | 5c 74 74 20 43 43 6f 6e | n} \\.{|\tt CCon|
|000054d0| 76 6f 6c 76 65 5b 74 5d | 7d 09 20 20 26 20 63 6f |volve[t]|}. & co|
|000054e0| 6e 74 69 6e 75 6f 75 73 | 20 63 6f 6e 76 6f 6c 75 |ntinuous| convolu|
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|00005500| 5c 5c 0a 7b 5c 74 74 20 | 43 6f 6e 76 6f 6c 76 65 |\\.{\tt |Convolve|
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|00005550| 20 26 20 74 68 65 20 7b | 5c 74 74 20 4c 7d 2d 73 | & the {|\tt L}-s|
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|00005580| 20 5c 5c 0a 09 09 09 20 | 20 26 20 6f 66 20 61 20 | \\.... | & of a |
|00005590| 66 75 6e 63 74 69 6f 6e | 20 69 6e 20 7b 5c 74 74 |function| in {\tt|
|000055a0| 20 6e 7d 20 74 6f 20 61 | 20 66 75 6e 63 74 69 6f | n} to a| functio|
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|000055c0| 7b 5c 74 74 20 44 54 46 | 54 5b 6e 2c 20 77 5d 7d |{\tt DTF|T[n, w]}|
|000055d0| 09 20 20 26 20 74 68 65 | 20 64 69 73 63 72 65 74 |. & the| discret|
|000055e0| 65 2d 74 69 6d 65 20 46 | 6f 75 72 69 65 72 20 74 |e-time F|ourier t|
|000055f0| 72 61 6e 73 66 6f 72 6d | 20 6f 66 20 61 20 73 65 |ransform| of a se|
|00005600| 71 75 65 6e 63 65 20 5c | 5c 0a 09 09 09 20 20 26 |quence \|\.... &|
|00005610| 20 69 6e 20 7b 5c 74 74 | 20 6e 7d 20 74 6f 20 61 | in {\tt| n} to a|
|00005620| 20 63 6f 6e 74 69 6e 75 | 6f 75 73 20 70 65 72 69 | continu|ous peri|
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|00005640| 20 7b 5c 74 74 20 77 7d | 20 5c 5c 0a 7b 5c 74 74 | {\tt w}| \\.{\tt|
|00005650| 20 44 69 66 66 65 72 65 | 6e 63 65 5b 69 2c 20 6e | Differe|nce[i, n|
|00005660| 5d 7d 09 20 20 26 20 74 | 68 65 20 24 69 24 74 68 |]}. & t|he $i$th|
|00005670| 20 62 61 63 6b 77 61 72 | 64 20 64 69 66 66 65 72 | backwar|d differ|
|00005680| 65 6e 63 65 20 69 6e 20 | 7b 5c 74 74 20 6e 7d 09 |ence in |{\tt n}.|
|00005690| 5c 5c 0a 7b 5c 74 74 20 | 44 6f 77 6e 73 61 6d 70 |\\.{\tt |Downsamp|
|000056a0| 6c 65 5b 6d 2c 20 6e 5d | 7d 09 20 20 26 20 6b 65 |le[m, n]|}. & ke|
|000056b0| 65 70 20 66 69 72 73 74 | 20 73 61 6d 70 6c 65 20 |ep first| sample |
|000056c0| 69 6e 20 65 76 65 72 79 | 20 62 6c 6f 63 6b 20 6f |in every| block o|
|000056d0| 66 20 7b 5c 74 74 20 6d | 7d 20 69 6e 70 75 74 20 |f {\tt m|} input |
|000056e0| 73 61 6d 70 6c 65 73 3b | 20 5c 5c 0a 09 09 09 20 |samples;| \\.... |
|000056f0| 20 26 20 73 61 6d 70 6c | 69 6e 67 20 72 61 74 65 | & sampl|ing rate|
|00005700| 20 64 65 63 72 65 61 73 | 65 73 20 62 79 20 61 20 | decreas|es by a |
|00005710| 66 61 63 74 6f 72 20 6f | 66 20 7b 5c 74 74 20 6d |factor o|f {\tt m|
|00005720| 7d 20 5c 5c 0a 7b 5c 74 | 74 20 46 49 52 5b 6e 2c |} \\.{\t|t FIR[n,|
|00005730| 20 5c 7b 68 30 2c 20 68 | 31 2c 20 5c 6c 64 6f 74 | \{h0, h|1, \ldot|
|00005740| 73 5c 7d 5d 7d 20 26 20 | 61 6c 6c 2d 7a 65 72 6f |s\}]} & |all-zero|
|00005750| 20 64 69 67 69 74 61 6c | 20 66 69 6c 74 65 72 20 | digital| filter |
|00005760| 77 69 74 68 20 66 69 6e | 69 74 65 20 69 6d 70 75 |with fin|ite impu|
|00005770| 6c 73 65 20 72 65 73 70 | 6f 6e 73 65 20 7b 5c 74 |lse resp|onse {\t|
|00005780| 74 20 68 30 2c 20 68 31 | 2c 20 5c 6c 64 6f 74 73 |t h0, h1|, \ldots|
|00005790| 7d 2e 20 5c 5c 0a 7b 5c | 74 74 20 46 54 5b 74 2c |}. \\.{\|tt FT[t,|
|000057a0| 20 77 5d 7d 09 09 20 20 | 26 20 63 6f 6e 74 69 6e | w]}.. |& contin|
|000057b0| 75 6f 75 73 20 46 6f 75 | 72 69 65 72 20 74 72 61 |uous Fou|rier tra|
|000057c0| 6e 73 66 6f 72 6d 20 6f | 66 20 61 20 66 75 6e 63 |nsform o|f a func|
|000057d0| 74 69 6f 6e 20 6f 66 20 | 7b 5c 74 74 20 74 7d 20 |tion of |{\tt t} |
|000057e0| 69 6e 74 6f 20 61 20 66 | 75 6e 63 74 69 6f 6e 20 |into a f|unction |
|000057f0| 6f 66 20 7b 5c 74 74 20 | 77 7d 20 5c 5c 0a 7b 5c |of {\tt |w} \\.{\|
|00005800| 74 74 20 49 49 52 5b 6e | 2c 20 5c 7b 61 30 2c 20 |tt IIR[n|, \{a0, |
|00005810| 61 31 2c 20 5c 6c 64 6f | 74 73 5c 7d 5d 7d 20 26 |a1, \ldo|ts\}]} &|
|00005820| 20 61 6c 6c 2d 70 6f 6c | 65 20 64 69 67 69 74 61 | all-pol|e digita|
|00005830| 6c 20 66 69 6c 74 65 72 | 20 77 69 74 68 20 69 6e |l filter| with in|
|00005840| 66 69 6e 69 74 65 20 69 | 6d 70 75 6c 73 65 20 72 |finite i|mpulse r|
|00005850| 65 73 70 6f 6e 73 65 20 | 5c 5c 0a 7b 5c 74 74 20 |esponse |\\.{\tt |
|00005860| 49 6e 74 65 72 6c 65 61 | 76 65 5b 6e 5d 7d 09 20 |Interlea|ve[n]}. |
|00005870| 20 26 20 69 6e 74 65 72 | 6c 65 61 76 65 73 20 28 | & inter|leaves (|
|00005880| 63 6f 6d 62 69 6e 65 73 | 29 20 73 61 6d 70 6c 65 |combines|) sample|
|00005890| 73 20 66 72 6f 6d 20 65 | 61 63 68 20 69 6e 70 75 |s from e|ach inpu|
|000058a0| 74 20 66 75 6e 63 74 69 | 6f 6e 20 6f 66 20 7b 5c |t functi|on of {\|
|000058b0| 74 74 20 6e 7d 20 69 6e | 74 6f 20 6f 6e 65 20 5c |tt n} in|to one \|
|000058c0| 5c 0a 7b 5c 74 74 20 49 | 6e 76 44 46 54 5b 4c 2c |\.{\tt I|nvDFT[L,|
|000058d0| 20 6b 2c 20 6e 5d 7d 09 | 20 20 26 20 69 6e 76 65 | k, n]}.| & inve|
|000058e0| 72 73 65 20 64 69 73 63 | 72 65 74 65 20 46 6f 75 |rse disc|rete Fou|
|000058f0| 72 69 65 72 20 74 72 61 | 6e 73 66 6f 72 6d 20 28 |rier tra|nsform (|
|00005900| 73 65 65 20 7b 5c 74 74 | 20 44 46 54 7d 29 5c 5c |see {\tt| DFT})\\|
|00005910| 0a 7b 5c 74 74 20 49 6e | 76 44 54 46 54 5b 77 2c |.{\tt In|vDTFT[w,|
|00005920| 20 6e 5d 7d 09 20 20 26 | 20 69 6e 76 65 72 73 65 | n]}. &| inverse|
|00005930| 20 64 69 73 63 72 65 74 | 65 2d 74 69 6d 65 20 46 | discret|e-time F|
|00005940| 6f 75 72 69 65 72 20 74 | 72 61 6e 73 66 6f 72 6d |ourier t|ransform|
|00005950| 20 28 73 65 65 20 7b 5c | 74 74 20 44 54 46 54 7d | (see {\|tt DTFT}|
|00005960| 29 20 5c 5c 0a 7b 5c 74 | 74 20 49 6e 76 46 54 5b |) \\.{\t|t InvFT[|
|00005970| 77 2c 20 74 5d 7d 09 20 | 20 26 20 69 6e 76 65 72 |w, t]}. | & inver|
|00005980| 73 65 20 63 6f 6e 74 69 | 6e 75 6f 75 73 20 46 6f |se conti|nuous Fo|
|00005990| 75 72 69 65 72 20 74 72 | 61 6e 73 66 6f 72 6d 20 |urier tr|ansform |
|000059a0| 28 73 65 65 20 7b 5c 74 | 74 20 46 54 7d 29 20 5c |(see {\t|t FT}) \|
|000059b0| 5c 0a 7b 5c 74 74 20 49 | 6e 76 4c 5b 73 2c 20 74 |\.{\tt I|nvL[s, t|
|000059c0| 5d 7d 09 20 20 26 20 69 | 6e 76 65 72 73 65 20 4c |]}. & i|nverse L|
|000059d0| 61 70 6c 61 63 65 20 74 | 72 61 6e 73 66 6f 72 6d |aplace t|ransform|
|000059e0| 20 28 73 65 65 20 7b 5c | 74 74 20 4c 7d 29 20 5c | (see {\|tt L}) \|
|000059f0| 5c 0a 7b 5c 74 74 20 49 | 6e 76 5a 5b 7a 2c 20 6e |\.{\tt I|nvZ[z, n|
|00005a00| 5d 7d 09 20 20 26 20 69 | 6e 76 65 72 73 65 20 24 |]}. & i|nverse $|
|00005a10| 7a 24 2d 74 72 61 6e 73 | 66 6f 72 6d 20 28 73 65 |z$-trans|form (se|
|00005a20| 65 20 7b 5c 74 74 20 5a | 7d 29 20 5c 5c 0a 7b 5c |e {\tt Z|}) \\.{\|
|00005a30| 74 74 20 4c 5b 74 2c 20 | 73 5d 7d 09 09 20 20 26 |tt L[t, |s]}.. &|
|00005a40| 20 4c 61 70 6c 61 63 65 | 20 74 72 61 6e 73 66 6f | Laplace| transfo|
|00005a50| 72 6d 20 6f 66 20 61 20 | 66 75 6e 63 74 69 6f 6e |rm of a |function|
|00005a60| 20 6f 66 20 7b 5c 74 74 | 20 74 7d 20 5c 5c 0a 7b | of {\tt| t} \\.{|
|00005a70| 5c 74 74 20 50 65 72 69 | 6f 64 69 63 5b 70 2c 20 |\tt Peri|odic[p, |
|00005a80| 76 5d 7d 09 20 20 26 20 | 61 72 67 75 6d 65 6e 74 |v]}. & |argument|
|00005a90| 20 69 73 20 6d 61 64 65 | 20 70 65 72 69 6f 64 69 | is made| periodi|
|00005aa0| 63 20 77 69 74 68 20 70 | 65 72 69 6f 64 20 7b 5c |c with p|eriod {\|
|00005ab0| 74 74 20 70 7d 20 77 2f | 72 20 74 6f 20 76 61 72 |tt p} w/|r to var|
|00005ac0| 69 61 62 6c 65 20 7b 5c | 74 74 20 76 7d 20 5c 5c |iable {\|tt v} \\|
|00005ad0| 0a 7b 5c 74 74 20 52 65 | 76 5b 76 5d 7d 09 09 20 |.{\tt Re|v[v]}.. |
|00005ae0| 20 26 20 72 65 76 65 72 | 73 65 20 74 68 65 20 66 | & rever|se the f|
|00005af0| 75 6e 63 74 69 6f 6e 20 | 6f 66 20 76 61 72 69 61 |unction |of varia|
|00005b00| 62 6c 65 20 7b 5c 74 74 | 20 76 7d 20 28 66 6c 69 |ble {\tt| v} (fli|
|00005b10| 70 20 74 68 65 20 7b 5c | 74 74 20 76 7d 20 61 78 |p the {\|tt v} ax|
|00005b20| 69 73 29 20 5c 5c 0a 25 | 25 25 20 7b 5c 74 74 20 |is) \\.%|%% {\tt |
|00005b30| 53 63 61 6c 65 41 78 69 | 73 5b 73 63 2c 20 77 5d |ScaleAxi|s[sc, w]|
|00005b40| 7d 09 20 20 26 20 73 63 | 61 6c 65 20 74 68 65 20 |}. & sc|ale the |
|00005b50| 7b 5c 74 74 20 77 7d 20 | 61 78 69 73 20 28 76 61 |{\tt w} |axis (va|
|00005b60| 72 69 61 62 6c 65 29 20 | 62 79 20 7b 5c 74 74 20 |riable) |by {\tt |
|00005b70| 73 63 7d 20 5c 5c 0a 7b | 5c 74 74 20 53 68 69 66 |sc} \\.{|\tt Shif|
|00005b80| 74 5b 76 30 2c 20 76 5d | 7d 09 20 20 26 20 73 68 |t[v0, v]|}. & sh|
|00005b90| 69 66 74 20 66 75 6e 63 | 74 69 6f 6e 20 6f 66 20 |ift func|tion of |
|00005ba0| 7b 5c 74 74 20 76 7d 20 | 62 79 20 7b 5c 74 74 20 |{\tt v} |by {\tt |
|00005bb0| 76 30 7d 20 70 6f 69 6e | 74 73 20 5c 5c 0a 7b 5c |v0} poin|ts \\.{\|
|00005bc0| 74 74 20 53 75 6d 6d 61 | 74 69 6f 6e 5b 69 2c 20 |tt Summa|tion[i, |
|00005bd0| 69 62 2c 20 69 65 2c 20 | 69 6e 63 5d 7d 20 26 20 |ib, ie, |inc]} & |
|00005be0| 73 75 6d 6d 61 74 69 6f | 6e 20 6f 70 65 72 61 74 |summatio|n operat|
|00005bf0| 6f 72 2c 20 7b 5c 74 74 | 20 69 7d 20 3d 0a 09 09 |or, {\tt| i} =...|
|00005c00| 09 20 20 09 20 20 7b 5c | 74 74 20 69 62 7d 20 74 |. . {\|tt ib} t|
|00005c10| 6f 20 7b 5c 74 74 20 69 | 65 7d 20 73 74 65 70 20 |o {\tt i|e} step |
|00005c20| 7b 5c 74 74 20 69 6e 63 | 7d 20 5c 5c 0a 7b 5c 74 |{\tt inc|} \\.{\t|
|00005c30| 74 20 55 70 73 61 6d 70 | 6c 65 5b 6c 2c 20 6e 5d |t Upsamp|le[l, n]|
|00005c40| 7d 09 20 20 26 20 69 6e | 73 65 72 74 20 7b 5c 74 |}. & in|sert {\t|
|00005c50| 74 20 6c 7d 20 2d 20 31 | 20 7a 65 72 6f 65 73 20 |t l} - 1| zeroes |
|00005c60| 61 66 74 65 72 20 65 61 | 63 68 20 69 6e 70 75 74 |after ea|ch input|
|00005c70| 20 73 61 6d 70 6c 65 3b | 5c 5c 0a 09 09 09 20 20 | sample;|\\.... |
|00005c80| 26 20 73 61 6d 70 6c 69 | 6e 67 20 72 61 74 65 20 |& sampli|ng rate |
|00005c90| 69 6e 63 72 65 61 73 65 | 73 20 62 79 20 61 20 66 |increase|s by a f|
|00005ca0| 61 63 74 6f 72 20 6f 66 | 20 7b 5c 74 74 20 6c 7d |actor of| {\tt l}|
|00005cb0| 20 5c 5c 0a 7b 5c 74 74 | 20 5a 5b 6e 2c 20 7a 5d | \\.{\tt| Z[n, z]|
|00005cc0| 7d 09 09 20 20 26 20 24 | 7a 24 2d 74 72 61 6e 73 |}.. & $|z$-trans|
|00005cd0| 66 6f 72 6d 20 6f 66 20 | 61 20 66 75 6e 63 74 69 |form of |a functi|
|00005ce0| 6f 6e 20 6f 66 20 7b 5c | 74 74 20 6e 7d 20 5c 5c |on of {\|tt n} \\|
|00005cf0| 0a 5c 65 6e 64 7b 74 61 | 62 75 6c 61 72 7d 0a 5c |.\end{ta|bular}.\|
|00005d00| 65 6e 64 7b 63 65 6e 74 | 65 72 7d 0a 0a 5c 63 61 |end{cent|er}..\ca|
|00005d10| 70 74 69 6f 6e 7b 28 50 | 61 72 61 6d 65 74 65 72 |ption{(P|arameter|
|00005d20| 69 7a 65 64 29 20 4f 70 | 65 72 61 74 6f 72 73 20 |ized) Op|erators |
|00005d30| 64 65 66 69 6e 65 64 20 | 69 6e 20 7b 5c 74 74 20 |defined |in {\tt |
|00005d40| 53 69 67 6e 61 6c 50 72 | 6f 63 65 73 73 69 6e 67 |SignalPr|ocessing|
|00005d50| 60 53 75 70 70 6f 72 74 | 60 7d 2e 0a 20 46 6f 72 |`Support|`}.. For|
|00005d60| 20 74 68 65 20 74 72 61 | 6e 73 66 6f 72 6d 73 2c | the tra|nsforms,|
|00005d70| 20 74 68 65 20 6c 61 73 | 74 20 74 77 6f 20 61 72 | the las|t two ar|
|00005d80| 67 75 6d 65 6e 74 73 20 | 69 6e 64 69 63 61 74 65 |guments |indicate|
|00005d90| 20 74 68 65 20 76 61 72 | 69 61 62 6c 65 28 73 29 | the var|iable(s)|
|00005da0| 0a 69 6e 20 74 68 65 20 | 66 75 6e 63 74 69 6f 6e |.in the |function|
|00005db0| 20 74 6f 20 62 65 20 61 | 63 74 65 64 20 6f 6e 20 | to be a|cted on |
|00005dc0| 61 6e 64 20 69 6e 20 74 | 68 65 20 72 65 73 75 6c |and in t|he resul|
|00005dd0| 74 20 6f 66 20 74 68 65 | 0a 74 72 61 6e 73 66 6f |t of the|.transfo|
|00005de0| 72 6d 61 74 69 6f 6e 2e | 20 0a 20 46 6f 72 20 61 |rmation.| . For a|
|00005df0| 6c 6c 20 6f 74 68 65 72 | 20 6f 70 65 72 61 74 6f |ll other| operato|
|00005e00| 72 73 20 65 78 63 65 70 | 74 20 7b 5c 74 74 20 53 |rs excep|t {\tt S|
|00005e10| 75 6d 6d 61 74 69 6f 6e | 7d 2c 20 74 68 65 0a 6c |ummation|}, the.l|
|00005e20| 61 73 74 20 61 72 67 75 | 6d 65 6e 74 20 69 6e 64 |ast argu|ment ind|
|00005e30| 69 63 61 74 65 73 20 74 | 68 65 20 76 61 72 69 61 |icates t|he varia|
|00005e40| 62 6c 65 28 73 29 20 69 | 6e 20 74 68 65 20 66 75 |ble(s) i|n the fu|
|00005e50| 6e 63 74 69 6f 6e 20 74 | 6f 20 62 65 20 61 63 74 |nction t|o be act|
|00005e60| 65 64 20 6f 6e 2e 7d 0a | 0a 5c 65 6e 64 7b 74 61 |ed on.}.|.\end{ta|
|00005e70| 62 6c 65 7d 0a 0a 0a 25 | 25 25 5c 62 65 67 69 6e |ble}...%|%%\begin|
|00005e80| 7b 74 61 62 6c 65 7d 0a | 25 25 25 5c 62 65 67 69 |{table}.|%%%\begi|
|00005e90| 6e 7b 63 65 6e 74 65 72 | 7d 0a 25 25 25 5c 62 65 |n{center|}.%%%\be|
|00005ea0| 67 69 6e 7b 74 61 62 75 | 6c 61 72 7d 7b 7c 6c 63 |gin{tabu|lar}{|lc|
|00005eb0| 6c 7c 7d 0a 25 25 25 5c | 68 6c 69 6e 65 0a 25 25 |l|}.%%%\|hline.%%|
|00005ec0| 25 4f 70 65 72 61 74 6f | 72 26 5c 54 65 58 20 66 |%Operato|r&\TeX f|
|00005ed0| 6f 72 6d 26 52 65 70 72 | 65 73 65 6e 74 73 5c 5c |orm&Repr|esents\\|
|00005ee0| 0a 25 25 25 5c 68 6c 69 | 6e 65 0a 25 25 25 7b 5c |.%%%\hli|ne.%%%{\|
|00005ef0| 74 74 20 41 6c 69 61 73 | 62 79 5b 73 63 2c 20 77 |tt Alias|by[sc, w|
|00005f00| 5d 7d 09 20 20 26 26 20 | 61 6c 69 61 73 20 61 20 |]}. && |alias a |
|00005f10| 63 6f 6e 74 69 6e 75 6f | 75 73 20 66 75 6e 63 74 |continuo|us funct|
|00005f20| 69 6f 6e 20 77 69 74 68 | 20 70 65 72 69 6f 64 0a |ion with| period.|
|00005f30| 25 25 25 09 09 09 20 20 | 20 24 32 20 5c 70 69 2f |%%%... | $2 \pi/|
|00005f40| 7b 5c 74 74 20 73 63 7d | 24 20 5c 5c 0a 25 25 25 |{\tt sc}|$ \\.%%%|
|00005f50| 7b 5c 74 74 20 43 6f 6e | 76 6f 6c 76 65 5b 6e 5d |{\tt Con|volve[n]|
|00005f60| 7d 20 20 20 20 20 20 20 | 20 20 26 24 2a 5f 6e 24 |} | &$*_n$|
|00005f70| 26 20 63 6f 6e 76 6f 6c | 76 65 20 74 77 6f 20 66 |& convol|ve two f|
|00005f80| 75 6e 63 74 69 6f 6e 73 | 5c 5c 0a 25 25 25 7b 5c |unctions|\\.%%%{\|
|00005f90| 74 74 20 44 46 54 5b 4c | 2c 20 6e 2c 20 6b 5d 7d |tt DFT[L|, n, k]}|
|00005fa0| 09 20 20 26 26 20 24 4c | 24 2d 73 61 6d 70 6c 65 |. && $L|$-sample|
|00005fb0| 20 64 69 73 63 72 65 74 | 65 20 46 6f 75 72 69 65 | discret|e Fourie|
|00005fc0| 72 20 74 72 61 6e 73 66 | 6f 72 6d 20 5c 5c 0a 25 |r transf|orm \\.%|
|00005fd0| 25 25 7b 5c 74 74 20 44 | 54 46 54 5b 6e 2c 20 77 |%%{\tt D|TFT[n, w|
|00005fe0| 5d 7d 09 20 20 26 26 20 | 64 69 73 63 72 65 74 65 |]}. && |discrete|
|00005ff0| 2d 74 69 6d 65 20 46 6f | 75 72 69 65 72 20 74 72 |-time Fo|urier tr|
|00006000| 61 6e 73 66 6f 72 6d 20 | 5c 5c 0a 25 25 25 7b 5c |ansform |\\.%%%{\|
|00006010| 74 74 20 44 69 66 66 65 | 72 65 6e 63 65 5b 69 2c |tt Diffe|rence[i,|
|00006020| 20 6e 5d 7d 09 20 20 26 | 24 5c 44 65 6c 74 61 5f | n]}. &|$\Delta_|
|00006030| 7b 69 2c 6e 7d 24 26 0a | 25 25 25 20 24 69 24 2d |{i,n}$&.|%%% $i$-|
|00006040| 74 68 20 69 74 65 72 61 | 74 65 64 20 64 69 66 66 |th itera|ted diff|
|00006050| 65 72 65 6e 63 65 20 62 | 65 74 77 65 65 6e 20 5c |erence b|etween \|
|00006060| 5c 20 26 26 20 24 5c 71 | 75 61 64 24 63 6f 6e 73 |\ && $\q|uad$cons|
|00006070| 65 63 75 74 69 76 65 20 | 73 61 6d 70 6c 65 73 20 |ecutive |samples |
|00006080| 5c 5c 0a 25 25 25 7b 5c | 74 74 20 44 6f 77 6e 73 |\\.%%%{\|tt Downs|
|00006090| 61 6d 70 6c 65 5b 6d 2c | 20 6e 5d 7d 20 20 26 24 |ample[m,| n]} &$|
|000060a0| 5c 64 6f 77 6e 61 72 72 | 6f 77 5f 7b 6d 2c 6e 7d |\downarr|ow_{m,n}|
|000060b0| 24 26 20 6b 65 65 70 20 | 6f 6e 6c 79 20 65 76 65 |$& keep |only eve|
|000060c0| 72 79 20 24 6d 24 2d 74 | 68 20 73 61 6d 70 6c 65 |ry $m$-t|h sample|
|000060d0| 5c 5c 0a 25 25 25 7b 5c | 74 74 20 46 54 5b 74 2c |\\.%%%{\|tt FT[t,|
|000060e0| 20 77 5d 7d 09 20 20 26 | 24 7b 5c 63 61 6c 20 46 | w]}. &|${\cal F|
|000060f0| 7d 5f 74 24 20 26 20 63 | 6f 6e 74 69 6e 75 6f 75 |}_t$ & c|ontinuou|
|00006100| 73 20 46 6f 75 72 69 65 | 72 20 74 72 61 6e 73 66 |s Fourie|r transf|
|00006110| 6f 72 6d 20 5c 5c 0a 25 | 25 25 7b 5c 74 74 20 49 |orm \\.%|%%{\tt I|
|00006120| 6e 74 65 72 6c 65 61 76 | 65 5b 6e 5d 7d 09 20 20 |nterleav|e[n]}. |
|00006130| 26 26 20 69 6e 74 65 72 | 6c 65 61 76 65 20 74 77 |&& inter|leave tw|
|00006140| 6f 20 6f 72 20 6d 6f 72 | 65 20 73 65 71 75 65 6e |o or mor|e sequen|
|00006150| 63 65 73 20 5c 5c 0a 25 | 25 25 7b 5c 74 74 20 49 |ces \\.%|%%{\tt I|
|00006160| 6e 76 44 46 54 5b 4c 2c | 20 6b 2c 20 6e 5d 7d 20 |nvDFT[L,| k, n]} |
|00006170| 20 20 20 20 26 24 7b 5c | 63 61 6c 20 44 46 54 7d | &${\|cal DFT}|
|00006180| 5e 7b 2d 31 7d 5f 7b 6b | 7d 24 0a 25 25 25 20 20 |^{-1}_{k|}$.%%% |
|00006190| 20 20 20 20 20 20 20 20 | 20 20 20 20 26 24 4c 24 | | &$L$|
|000061a0| 2d 73 61 6d 70 6c 65 20 | 69 6e 76 65 72 73 65 20 |-sample |inverse |
|000061b0| 64 69 73 63 72 65 74 65 | 20 46 6f 75 72 69 65 72 |discrete| Fourier|
|000061c0| 20 74 72 61 6e 73 66 6f | 72 6d 5c 5c 0a 25 25 25 | transfo|rm\\.%%%|
|000061d0| 7b 5c 74 74 20 49 6e 76 | 44 54 46 54 5b 77 2c 20 |{\tt Inv|DTFT[w, |
|000061e0| 6e 5d 7d 09 20 20 26 0a | 25 25 25 24 7b 5c 63 61 |n]}. &.|%%%${\ca|
|000061f0| 6c 20 44 54 46 54 7d 5e | 7b 2d 31 7d 5f 7b 77 7d |l DTFT}^|{-1}_{w}|
|00006200| 24 20 26 20 69 6e 76 65 | 72 73 65 20 64 69 73 63 |$ & inve|rse disc|
|00006210| 72 65 74 65 2d 74 69 6d | 65 20 46 6f 75 72 69 65 |rete-tim|e Fourie|
|00006220| 72 20 74 72 61 6e 73 66 | 6f 72 6d 20 5c 5c 0a 25 |r transf|orm \\.%|
|00006230| 25 25 7b 5c 74 74 20 49 | 6e 76 46 54 5b 77 2c 20 |%%{\tt I|nvFT[w, |
|00006240| 74 5d 7d 26 24 7b 5c 63 | 61 6c 20 46 7d 5e 7b 2d |t]}&${\c|al F}^{-|
|00006250| 31 7d 5f 7b 77 7d 24 26 | 69 6e 76 65 72 73 65 20 |1}_{w}$&|inverse |
|00006260| 63 6f 6e 74 69 6e 75 6f | 75 73 20 46 6f 75 72 69 |continuo|us Fouri|
|00006270| 65 72 20 74 72 61 6e 73 | 66 6f 72 6d 20 5c 5c 0a |er trans|form \\.|
|00006280| 25 25 25 7b 5c 74 74 20 | 49 6e 76 4c 5b 73 2c 20 |%%%{\tt |InvL[s, |
|00006290| 74 5d 7d 09 20 20 26 24 | 7b 5c 63 61 6c 20 4c 7d |t]}. &$|{\cal L}|
|000062a0| 5e 7b 2d 31 7d 5f 7b 73 | 7d 24 26 20 69 6e 76 65 |^{-1}_{s|}$& inve|
|000062b0| 72 73 65 20 4c 61 70 6c | 61 63 65 20 74 72 61 6e |rse Lapl|ace tran|
|000062c0| 73 66 6f 72 6d 20 5c 5c | 0a 25 25 25 7b 5c 74 74 |sform \\|.%%%{\tt|
|000062d0| 20 49 6e 76 5a 5b 7a 2c | 20 6e 5d 7d 09 20 20 26 | InvZ[z,| n]}. &|
|000062e0| 24 7b 5c 63 61 6c 20 5a | 7d 5e 7b 2d 31 7d 5f 7b |${\cal Z|}^{-1}_{|
|000062f0| 7a 7d 24 26 20 69 6e 76 | 65 72 73 65 20 24 7a 24 |z}$& inv|erse $z$|
|00006300| 2d 74 72 61 6e 73 66 6f | 72 6d 20 5c 5c 0a 25 25 |-transfo|rm \\.%%|
|00006310| 25 7b 5c 74 74 20 4c 5b | 74 2c 20 73 5d 7d 09 09 |%{\tt L[|t, s]}..|
|00006320| 20 20 26 24 7b 5c 63 61 | 6c 20 4c 7d 5f 7b 74 7d | &${\ca|l L}_{t}|
|00006330| 24 26 20 4c 61 70 6c 61 | 63 65 20 74 72 61 6e 73 |$& Lapla|ce trans|
|00006340| 66 6f 72 6d 20 5c 5c 0a | 25 25 25 7b 5c 74 74 20 |form \\.|%%%{\tt |
|00006350| 50 65 72 69 6f 64 69 63 | 5b 70 2c 20 6e 5d 7d 09 |Periodic|[p, n]}.|
|00006360| 20 20 26 26 20 6d 61 6b | 65 20 70 65 72 69 6f 64 | && mak|e period|
|00006370| 69 63 20 6f 66 20 70 65 | 72 69 6f 64 20 7b 5c 74 |ic of pe|riod {\t|
|00006380| 74 20 70 7d 20 5c 5c 0a | 25 25 25 7b 5c 74 74 20 |t p} \\.|%%%{\tt |
|00006390| 52 65 76 5b 6e 5d 7d 09 | 09 20 20 26 26 20 66 6c |Rev[n]}.|. && fl|
|000063a0| 69 70 20 74 68 65 20 61 | 78 69 73 20 5c 5c 0a 25 |ip the a|xis \\.%|
|000063b0| 25 25 7b 5c 74 74 20 53 | 63 61 6c 65 41 78 69 73 |%%{\tt S|caleAxis|
|000063c0| 5b 73 63 2c 20 77 5d 7d | 09 20 20 26 26 20 73 63 |[sc, w]}|. && sc|
|000063d0| 61 6c 65 20 74 68 65 20 | 77 2d 61 78 69 73 20 62 |ale the |w-axis b|
|000063e0| 79 20 7b 5c 74 74 20 73 | 63 7d 20 5c 5c 0a 25 25 |y {\tt s|c} \\.%%|
|000063f0| 25 7b 5c 74 74 20 53 68 | 69 66 74 5b 6e 30 2c 20 |%{\tt Sh|ift[n0, |
+--------+-------------------------+-------------------------+--------+--------+
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